iNGENET - La comunidad de la ingeniería mexicana

Abstract

The exact definition of a computer cluster  will depend a little on who you ask. However, everybody agree that it consists of a set of loosely connected computers that work together so that in many respects they can be viewed as a single system. There are many types of clusters including Load balancing, High Availability and High Performance clusters. Clustering is a popular strategy for implementing parallel processing applications because it enables companies to leverage the investment already they made in PC´s and workstations. Many organizations use computer clusters to maximize processing time, increase database storage and implement faster data storing & retrieving techniques. The major advantages of using computer clusters are clear when an organization requires large scale processing. Cluster technology continues to evolve and can be applied to various fields of science, engineering, economics and social well being of nations. Mathematics is seen as being fundamental to the engineering of clusters and information technology itself. Mathematics is a science that can be applied with information technology. There are always new things that can be explored by researchers about mathematics and information technology.

———————————————————————————————————

Introducción

Y… ¿a ti, te gustan las Matemáticas? Seguramente es una pregunta que a todos nos han hecho en algún momento de nuestra vida, más probablemente  durante nuestra educación básica. Sea tu respuesta positiva o negativa, indudablemente a la mayoría de nosotros nos ha infundido  alguna vez cierto temor. Muchos jóvenes dicen que no podrían estudiar ingeniería porque “odian las matemáticas”,  pero ese odio está realmente infundado en el miedo que le han tenido. Pero, ¿por qué dan miedo las matemáticas? Quizá porque no es fácil perderle el miedo a pensar libremente o quizá porque  nos da flojera pensar pero en todos los casos es porque nos han acercado a ellas de manera equivocada. Razonar no es fácil pero inculcar el goce por razonar es más difícil aún. Ojalá los docentes  nos enseñaran que las matemáticas son hermosas porque nos exigen lo mejor de nosotros mismos y nos mandan por lugares inesperados y maravillosos.

En este siglo XXI, las Matemáticas constituyen un parámetro para medir el desarrollo económico  de los países y son una amplia disciplina con múltiples facetas que abarcan un extenso espectro de actividades .En un extremo, definen las bases del cálculo, tiempo y espacio que permiten a la vida cotidiana seguir su curso. Pero en el otro extremo, pueden parecer un mundo cerrado exclusivo para mentes brillantes que diseñan acertijos de una colosal complejidad y luego dedican años en resolverlos. Al mismo tiempo, sobre todo en tiempos de elecciones de gobierno, los políticos insistentemente nos dicen que necesitamos más matemáticas. Entonces….¿Para qué son las Matemáticas? En cierto sentido ésta es una pregunta extraña. En realidad, nunca nos preguntamos “¿para qué es la Música?” o “¿para qué es la Literatura?”. Se aceptan simplemente como actividades del proceso del pensamiento y ejercicios de la imaginación con las cuales el ser humano goza, ha gozado y gozará,…. y así debe ser. Si uno quiere buscar aplicaciones, están por todas partes a nuestro alrededor, multiplicándose día a día. Si uno quiere profundizar en todos los campos en los cuales las matemáticas aportan conocimiento del mundo, del universo, de la naturaleza y de las interacciones humanas, uno puede hacerlo también. Hay una inestimable cantidad de cosas que los matemáticos pueden hacer, y han hecho, de manera que la evolución no se detenga nunca. Pero, en su raíz, las matemáticas están motivadas por una característica básica  que define a la humanidad: la curiosidad insaciable.

Los ingenieros sabemos que las herramientas matemáticas que empleamos fueron desarrolladas hace muchos años, y en realidad no fueron creadas con ninguna aplicación práctica concreta. Las matemáticas con las que convivimos hoy tienen su raíz en una temprana e incipiente cultura numérica que comienza alrededor del  año 3000 a.C. Como era de esperar, los comienzos estaban orientados a tratar con asuntos prácticos: problemas en el mercado, el pago de impuestos, la medida de terrenos, la comprensión de las estrellas y los planetas o la concepción de un calendario; todas son aplicaciones que requieren números, cálculos y geometría rudimentaria. Pero con los egipcios, mil años después, las sociedades comienzan a investigar las propiedades de los sistemas numéricos más allá de las aplicaciones obvias. También empezaron a crear, por curiosidad y placer intelectual, acertijos matemáticos, por la misma razón por la que nosotros podemos disfrutar con el sudoku del periódico.

Las matemáticas habían empezado a mirarse a sí mismas. Había nacido el matemático. Los griegos hicieron enormes progresos en torno al año 500 a.C., cuando la verdadera cultura matemática floreció. Los estudios que realizaron han resultado influyentes a lo largo de los siglos y todavía se estudian hoy. Las matemáticas eran consideradas como la esencia del bien supremo y eran una parte esencial en la educación clásica. Pitágoras, Platón, Arquímedes o Euclides son sólo algunos de los filósofos griegos que abogaron por las matemáticas y que ejercieron una influencia cientos, incluso miles, de años después.

Sin embargo, existe actualmente un debate popular sobre las matemáticas, sobre si necesitarlas es el origen de la invención matemática o si las matemáticas innovadoras crean oportunidades para su aplicación. Históricamente, las consideraciones prácticas fueron las que guiaron a las matemáticas, pero una vez que la materia generó su propia vida interior, surgió la posibilidad de que el pensamiento matemático “puro” pudiese por sí mismo crear un espacio para nuevas aplicaciones. Las buenas matemáticas nunca descartan una potencial aplicación, pero uno nunca sabe cuándo el momento de ésta llegará. Una afinada comprensión quizá la saque a la luz la semana que viene, o puede que permanezca latente durante 50 o 500 años.

La historia está repleta de ejemplos de teorías puramente matemáticas que encuentran su vertiente práctica años posteriores. Los griegos en la Antigüedad elaboraron una teoría de secciones cónicas que resultó ser justo lo que necesitaban, en el siglo XVII, Johannes Kepler e Isaac Newton cuando afirmaron que los planetas se movían en elipses. El “Álgebra de matrices” que estudiamos ahora en Preparatoria es una teoría de números multidimensionales que se desarrolló a mediados del siglo XIX para resolver problemas propios de las matemáticas y fue, precisamente esto lo que era necesario en la “mecánica de matrices” para la rápida evolución de la Teoría Cuántica 70 años más tarde. Cuando George Boole diseñó un sistema para convertir la lógica en álgebra, dando lugar al “álgebra booleana”, no sabía que estaba proporcionando el lenguaje  de máquina para la programación de las computadoras de un siglo después.

Otro ejemplo que quiero compartir sobre todo con los ingenieros en Telecomunicaciones e Informática es el “problema de las esferas que se besan” “the kissing number problem” planteado en el siglo XVII por Isaac Newton y David Gregory y que actualmente resuelve muchos problemas en esta rama de la ingeniería:

“Dada una esfera, ¿cuántas esferas iguales a ésta pueden colocarse con la condición de que toquen a la inicial?”

En una  sola  dimensión es evidente que sólo es posible colocar dos esferas iguales a ésta (una a la izquierda y otra a la derecha), tal como muestra la siguiente figura:

En dos dimensiones,  también la solución resulta sencilla y es fácil de demostrar que la respuesta es 6. Lo podemos ver en esta imagen:

Pero cuando pasamos a la tercera dimensión , o R3 como la solemos llamar, el problema se complica cuando queremos hacer una demostración. Newton pensaba que 12 era el número máximo en 3 dimensiones pero David Gregory aseguraba que el número máximo era 13. Si analizamos más a detalle el problema, podemos imaginar fácilmente que será relativamente sencillo colocar 12 esferas tocando a esa esfera inicial.

Pero esta no es la única forma de colocarlas, y quizás este hecho sea lo que provoca la dificultad de este problema. Hay más formas de colocar estas esferas. De hecho a partir de una colocación cualquiera se pueden mover las esferas hasta que queden colocadas sobre los vértices de un icosaedro (poliedro de 20 caras y 12 vértices) cuyo centro es el mismo que el de la esfera interior. Esta colocación es la siguiente:

La duda aparece cuando uno analiza esta configuración y  se aprecia que queda una cierta cantidad de espacio entre las esferas. Por ello no es ni mucho menos una locura plantearse que las esferas pueden recolocarse de tal forma que esos huecos permitan colocar una esfera más “besando” a la interior.

Esa fue la disputa entre Newton y Gregory: el primero decía que esto no se podía conseguir y el segundo estaba convencido de que sí.

¿Qué dicen ustedes? ¿Podremos juntar todos esos huecos en uno para poder colocar otra esfera? Es cierto que la apuesta más segura quizás es la de Newton, pero en cierto modo la opción Gregory es tentadora…

La demostración tuvo que esperar el trabajo de Kurt Schütte y Bartel van der Waerden en 1953 y comprobar que Newton tenía razón. En 2003 Oleg Musin demostró que el “número de besos” en 4 dimensiones es 24.En cinco dimensiones sólo se sabe que se encuentra entre 40 y 44.Sabemos que la respuesta en 8 dimensiones es 240, como lo demostró Andrew Odlyzko en 1979.Más aún, en 24 dimensiones la respuesta es 196,560. Estas últimas demostraciones fueron más sencillas que la de 3 dimensiones y utilizan el empaquetamiento     de esferas mucho más complicados e increíblemente densos. Como dato final, es interesante comentar que este “kissing number” muestra una tendencia exponencial, como se puede apreciar en este gráfico.

Todo esto suena interesante, pero… ¿sirve de algo? .En la década de 1960 un ingeniero llamado Gordon Lang diseñó los sistemas de comunicación para datos empleados en los módems mediante algoritmos que se basan en estos empaquetamientos de esferas multidimensionales. Por otra parte, sabemos que las líneas telefónicas y enlaces inalámbricos están afectados por el ruido y que en una conversación de voz el ruido importa poco pero en una comunicación de datos es necesario emplear técnicas correctoras de errores. Lang utilizó estos mismos empaquetamientos de esferas para lidiar con el ruido y aumentar el ancho de banda (o velocidad) del canal. Para ello empleó una codificación basada en el empaquetamiento E8 (que más tarde empleó Leech).En la década de 1970 el trabajo de Lang fue clave para el desarrollo de algunos aspectos de transmisión de datos, detección y corrección de errores empleados en el  protocolo TCP/IP  o “IP” (Internet Protocol”), empleado por supuesto en Internet.

El problema de la configuración de esferas a máxima densidad en espacios multidimensionales reviste de gran importancia  también para la transmisión de mensajes (teoría de códigos), especialmente en la compresión de datos y la corrección de errores(código Hamming y Reed-Solomon) indispensables en toda red informática e indispensable  también para la creación de clústeres informáticos…

¿Quieres saber por qué?…

Continúa leyendo….

———————————————————————————————————

¿Qué es exactamente un Clúster Informático?

Un cluster (a veces  castellanizado  como clúster) es un término inglés encontrado en varios tecnicismos. La traducción literal al castellano es ” racimo”, “conjunto” , “grupo” o ” cúmulo”

Un clúster informático es un conjunto de computadoras interconectadas con dispositivos de alta velocidad que actúan en conjunto usando el poder cómputo de varios CPUs en combinación para resolver ciertos problemas dados. Se usa un clúster para crear una supercomputadora que puede servir como un servidor en un sistema Cliente-Servidor, reduciéndose el costo de inversión.

Hoy en día desempeñan un papel importante en la solución de problemas de las  ciencias, las ingenierías y del comercio moderno.La tecnología de clústeres ha evolucionado en apoyo de actividades que van desde aplicaciones de supercómputo y software de misiones críticas, servidores web y comercio electrónico, hasta bases de datos de alto rendimiento, entre otros usos. El cómputo con clústeres surge como resultado de la convergencia de varias tendencias actuales que incluyen la disponibilidad de microprocesadores económicos de alto rendimiento y redes de alta velocidad, el desarrollo de herramientas de software para cómputo distribuido de alto  rendimiento , así como la creciente necesidad de potencia computacional para aplicaciones que la requieran. En resumen, , un clúster informático es un grupo de computadoras unidas mediante una red de alta velocidad de tal forma que el conjunto es visto como una única supercomputadora.

Características del clúster

De un clúster se espera que presente combinaciones de las siguientes características:

1. Alto rendimiento
2. Alta disponibilidad
3. Balanceo de cargas
4. Escalabilidad

La construcción del clúster es más fácil y económico debido a su flexibilidad  ya que pueden tener  todos  la misma configuración de  hardware y sistema operativo (clúster homogéneo), diferente rendimiento pero con arquitecturas y sistemas operativos similares (clúster semi-homogéneo), o tener diferente hardware y sistema operativo (clúster heterogéneo), lo que hace más fácil y económica su construcción. Para que un clúster funcione como tal, no basta solo con conectar entre sí las computadoras, sino que es necesario proveer un sistema de manejo del clúster, el cual se encarga de interactuar con el usuario y los procesos que corren en él para optimizar el funcionamiento.

Un poco de Historia de los clústeres

El origen del término y del uso de este tipo de tecnología es desconocido pero se puede considerar que comenzó a finales de los años 50 y principios de los años 60.El principal fundamento que dio origen a la existencia del  clúster es la  Ley de Amdhal que describe matemáticamente cuanto se puede esperar como resultado de hacer en paralelo una serie de tareas mediante una arquitectura que lo permita. Dicha ley es aplicable a cualquier medio de multiprocesamiento, ya sea en hardware   (es decir, maquinas con varias CPU´s ) o entornos de redes (clústeres de computadoras).En consecuencia, la historia de los primeros clústeres  está más o menos directamente ligada a la historia de principios de las redes, como una de las principales motivaciones para el desarrollo de una red para enlazar los recursos de computación.. Las redes fueron conceptualmente inventadas por la corporación RAND en 1962 .Utilizando el concepto de una red de conmutación de paquetes, el proyecto  ARPANET logró crear en  1969 lo que fue posiblemente la primera red de computadoras básicas, basadas en el clúster de computadoras por cuatro tipos de centros informáticos. El desarrollo posterior de ARPANET es lo que dio origen a la actual Internet.

En  1995, la invención de la Beowulf -un estilo de clúster- estimuló el desarrollo independiente de lo que se conoce como Grid Computer.

Clasificación de los clústeres

El término clúster tiene diferentes connotaciones para diferentes grupos de personas. Los tipos de clústeres, establecidos en base al uso que se dé a los clústeres y los servicios que ofrecen, determinan el significado del término para el grupo que lo utiliza. Los clústeres pueden clasificarse con base en sus características. Se pueden tener clústeres de alto rendimiento (HPC – High Performance Clusters), clústeres de alta disponibilidad (HA – High Availability) o clúster de alta eficiencia (HT – High Throughput).

Alto rendimiento: Son clústeres en los cuales se ejecutan tareas que requieren de gran capacidad computacional, grandes cantidades de memoria, o ambos a la vez. El llevar a cabo estas tareas puede comprometer los recursos del clúster por largos periodos de tiempo.

Alta disponibilidad: Son clústeres cuyo objetivo de diseño es el de proveer disponibilidad y confiabilidad. Estos clústeres tratan de brindar la máxima disponibilidad de los servicios que ofrecen. La confiabilidad se provee mediante software que detecta fallos y permite recuperarse frente a los mismos, mientras que en hardware se evita tener un único punto de fallos.

Alta eficiencia: Son clústeres cuyo objetivo de diseño es el ejecutar la mayor cantidad de tareas en el menor tiempo posible. Existe independencia de datos entre las tareas individuales. El retardo entre los nodos del clúster no es considerado un gran problema.

Componentes de un Clúster

En general, un clúster necesita de varios componentes de software y hardware para poder funcionar. A saber:

• Nodos
• Sistemas Operativos
• Conexiones de Red
• Middleware
• Protocolos de Comunicación y servicios
• Aplicaciones
• Ambientes de Programación Paralela

Algunos Sistemas Clústeres Implementados

• Beowulf

Fue diseñado por Donald Becker y Thomas Sterling en 1994 y  construido con 16 computadores personales con procesadores Intel DX4 de 200 MHz, que estaban conectados a través de un switch Ethernet. El rendimiento teórico era de 3.2 GigaFlops.(Los flops son las operaciones de coma flotante por segundo y son una medida del  rendimiento de una computadora).

• Berkeley NOW

El sistema NOW de Berkeley estuvo conformado por 105 estaciones de trabajo Sun Ultra 170, conectadas a través de una red Myrinet. Cada estación de trabajo contenía un microprocesador Ultra1 de 167 MHz, caché de nivel 2 de 512 KB, 128 MB de memoria, dos discos de 2.3 GB, tarjetas de red Ethernet y Myrinet. En abril de 1997, NOW logró un rendimiento de 10 GFlops.

• Google

Durante el año 2003, el clúster Google llegó a estar conformado por más de 15.000 computadores personales. En promedio, una consulta en Google lee cientos de megabytes y consume algunos billones de ciclos del CPU.

• Cluster PS2

En el año 2004, en la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign, Estados Unidos, se exploró el uso de consolas Play Station 2 (PS2) en cómputo científico y visualización de alta resolución. Se construyó un clúster conformado por 70 PS2; utilizando Sony Linux Kit (basado en Linux Kondora y Linux Red Hat) y MPI.

Clústeres Informáticos en  México

De acuerdo al CANIETI (Cámara Nacional de la Industria Electrónica ,de Telecomunicaciones y de Tecnologías de Información), en México hay más de dos mil empresas de tecnología aglutinadas en 38 clústeres distribuidos en 28 estados de la República.

Estos clústeres  concentran a compañías, emprendedores y academia para generar innovación en Tecnologías de la Información (TI) como software, hardware, apps móviles, consultoría y animación digital. Su número está en constante crecimiento debido a la llegada de inversión y la conformación de nuevas alianzas entre empresas, gobiernos y universidades. Datos de la Cámara indican que en el País existen 900 mil empleos relacionados con la industria de Tecnologías de la Información y gran parte son ofrecidos en estos clústeres, los cuales han crecido como polos de atracción de emprendedores que fundan nuevas empresas y generan más empleos.

———————————————————————————————————

Conclusiones

Hace tan sólo poco más de 60 años, el influyente matemático inglés G. H. Hardy escribió que ejerció las matemáticas sin sentir la obligación de tener que dotar a sus ideas alguna “relevancia práctica”. Es más, se reconfortaba en la teoría de números remotamente ligada a aplicaciones prácticas. No podría celebrar su aislamiento hoy en día, no en un mundo donde su tipo de matemática pura es una de las de mayor importancia cuando nos referimos a la seguridad informática.

Actualmente, la matemática pura y matemática aplicada prolongan su relación simbiótica, algo que nunca ha sido  más cierto que en la industria  electrónica. Sin matemáticas, las computadoras serían inútiles, la fotografía digital sería imposible y los teléfonos móviles permanecerían en silencio. Por otra parte, resulta que la investigación “pura” de matemáticos profesionales es significativamente poderosa gracias a la capacidad de cómputo de manera que “lo aplicado” alimenta también a “lo puro” en este caso.

Pero las matemáticas tienen también una cara más tímida, su parte reflexiva desde un punto de vista filosófico. Su historia muestra un movimiento que se aleja de la hipótesis de la Antigüedad, que aseguraba que los matemáticos sacaban a la luz verdades preexistentes, y se dirige a una concepción con matices mucho más precisos, en la que interviene la creatividad y la imaginación. Ojalá podamos acercarnos también a esta arista de las matemáticas quizá más tímida pero no menos importante.

“A mathematician, like a painter or a poet, is a maker of patterns. If his patterns are more permanent than theirs, it is because they are made with ideas” G. H. Hardy “A Mathematician’s Apology “